多步二叉树定价模型——从实例到四部曲

gyshssl 数据策略 2019-9-10 23:59 247631人围观

为复习巩固两步二叉树模型的定价，我们来看一个实际的例题：

例1：股票当前价格为10元，以3个月为一期（即步长为3个月）；在每一步，股票价格均可能上涨20%或者下跌20%，且无风险利率均为4%。那么，以该只股票为标的，行权价为11元，6个月后到期的认购期权的初始价格是多少？

在此，我们反复使用风险中性定价方法来对这个期权进行定价。在下图中的各个节点，上面的数字代表股票价格，下面的数字代表期权价格。

图4：例1的二叉树示意图

图4.5中最右边节点上的期权价格不难求出：在节点D，股票的价格为14.4，期权价格则为14.4-11=3.4；在节点E和F，期权价格显然为0。由于节点C的价值来自于节点E和F，因此在节点C上期权的价格为也0。为求节点B上的期权价格，我们将u=1.2，d=0.8，r=4%，和T=0.25代入式2-2，

因此节点B上的期权价格为

我们的目的是要计算出节点A上的期权价格。我们现已知期权在节点B上的价格为1.768，在节点C上的价格为0，代入式2-2便可算出期权的初始价格为

最后，我们把多步二叉树定价模型进行一般化。假设某欧式认购期权行权价为K，到期日为T，股票当前的价格为S(0)，我们把开仓时刻至到期时刻等分成N段，每一段的节点处股价要么上涨（1+U），对应的风险中性概率为q，要么下跌（1+D），对应的风险中性概率为1-q，于是该认购期权在开仓时刻的理论价格C(0)如下：